2020年8月14日，周五。
今天的梦还不错，进入的轮回世界是一个轻小说或者有二次元风的世界，我作为主角的朋友看主角跟几个女孩子的互动。女孩子没看多少，我和主角倒是互动不少。我对主角和女生的互动心里跟明镜似的，不过没打扰，为什么我当男二这么尽责？主要主角也不让我接触女生们。还有就是主角跟我互动老是像个娘们儿一样各种玩闹打我。最后的情节是我们丢瓶子扔进楼下的垃圾桶，我没扔进去但相差无几，主角则偏太远了，扔的太近了，我就嘲笑主角力气小。然后醒了。
所以回过神来主角其实是女主？是女的？淦。我他喵完全像个傻子一样把她当兄弟，只是挺帅气的兄弟。那……
要是还有机会通过梦境进入这个轮回世界一定要和她好好互动互动。打我好多下我都记着的。不过为什么住在一起我啥也没发现呢？大概就是因为片段吧。
……
午餐青椒肉丝、麻辣鱼块、空心菜。
……
我日常受群里马涛压迫。
……
好，来看高数第三章微分中值定理与导数的应用。
第二章研究了导数、微分。
从第三章题目可以看出有两个内容，一个是微分中值定理，一个是导数的应用。这些大章就喜欢两个东西搞成一个题目，这个有点意思。
来看第一节：
3.1 微分中值定理
首先来看【引导】。
1.极值点。
……
嘟嘟嘟
去心邻域。极小点、极小值。极大点，极大值。
……
2.函数在一个点的导数有哪些情况？
＞0，＜0，＝0，不存在。
四种情况。
如果f"(a)＞0，又有极限保号性，在去心邻域也＞0。通过左右邻域分析可以发现
lim(x→a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}＞0.
{f(x)＜f(a)，x∈（a-δ）}
{f(x)＞f(a)，x∈（a+δ）}
f"(a)＞0推出左小右大。（x=a不是极值点）
同理
f"(a)＜0推出左大右小。（x=a不是极值点）
【结论】
①f(x)在x=a取极值，推出，f"(a)=0或f"(a)不存在.反之不对。
②f(x)在x=a取极值且可导，推出，f"(a)=0.反之不对。
【反例1】y=x3，y"=3x2，y"(0)=0.
但x=0不是y=x3的极值点。（左低右高）
【反例2】y=f(x)={x，（x小于0）；2x，（x≥0）}
f"?(0)=lim(x→0?){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=1，
f"?(0)=lim(x→0?){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=2，
∵f"?(0)≠f"?(0)，
∴f"(0)不存在，但x=0不是极值点。
【开始正式动手】
【引】【连续和可导的区别】
……
尖尖交不可导，可导是光滑的。
……
一、Rolle中值定理【罗尔定理】
Th1，若
①f(x)∈C[a，b]，
②f(x)在(a，b)内可导，
③f(a)=f(b).
则至少?一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0.
【罗尔定理】
【条件】【闭区间连续】【开区间可导】【左右两个端点函数值相等】
【结论】【则开区间至少一个点的导数为0】
【注意】【开闭区间一定不能含糊，零点定理开区间，介值定理闭区间，罗尔定理开区间】
【几何意义】【在区间里面至少有一点切线水平】
【罗尔定理】【证明】
f(x)C[a，b]，推出，f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，
①m=M，
则f(x)≡C?.
?ξ∈(a，b)，有f"(ξ)=0；
②m＜M，
∵f(a)=f(b)，
∴if f(a)=m，则f(b)=m，
推出M在(a，b)内取到；
if f(a)=M，则f(b)=M，
推出m在(a，b)内取到；
∴m，M至少一个在在(a，b)内取到；
【这里条件是m与M是不同的值，而左右端点是同一个值，所以m，M至少有一个在中间取到】
不妨设?ξ∈(a，b)，使f(ξ)=m，
推出f"(ξ)=0或f"(ξ)不存在，
∵f(x)在(a，b)内可导，
∴f"(ξ)=0
【应用】
【例1】f(x)∈C[0，2]，(0，2)内可导，f(0)=-1，f(1)=2，f(2)=-2.求证?ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0.
证明：∵f(0)f(1)＜0，【零点定理】
∴?C?∈(0，1)，使f(C?)=0；
又∵f(1)f(2)＜0，
∴?C?∈(1，2)，使f(C?)=0；
∵f(x)∈C[C?，C?]，f(x)在(C?，C?)内可导，
又∵f(C?)=f(C?)=0，
∴?ξ∈(C?，C?)?(0，2)，使f"(ξ)=0.
【例2】f(x)∈C[0，2]，(0，2)内可导，f(0)=1，f(1)+2f(2)=3.求证?ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0.
证明：
1o，∵f(x)∈C[1，2]，
∴f(x)在[1，2]上取到m和M.
3m≤f(1)+2f(2)≤3M，f(1)+2f(2)=3，
∴m≤1≤M
∴?C∈[1，2]，使f(C)=1
2o，∵f(0)=f(C)=1
∴?ξ∈(0，C)?(0，2)，使f"(ξ)=0.
……
吃了些零食喝了些水，站起来走了走。
……
【罗尔定理的致命弱点就是第三个条件太苛刻了，所以我们看一个更加广泛的拉格朗日】
二、Lagrange中值定理【拉格朗日中值定理】
Th2.若①f(x)∈C[a，b]，
②f(x)在(a，b)内可导，
则至少?一点ξ∈(a，b)，使
f"(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a).
【证明】
【分析】L：y=f(x)
Lab：y-f(a)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
即：Lab：y=f(a)+{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
【证明】
令φ(x)=曲-直=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)
φ(x)∈C[a，b]，φ(x)在(a，b)内可导.
且φ(a)=φ(b)=0，
根据罗尔定理，
?ξ∈(a，b)，使φ"(ξ)=0.
而φ"(x)=f"(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}
∴f"(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
【真漂亮】
【注解】
①if f(a)=f(b)，则L→R.
②等价形式f"(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)等价于
f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)等价于
f(b)-f(a)=f"[a+(b-a)θ](b-a)，（0＜θ＜1）
【例1】f(x)∈C[a，b]，(a，b)内可导，f(a)=0，f(b)=0，a＜c＜b且|f"(x)|≤M.求证
|f(c)|≤M(b-a)/2.
证明：
1o，
f(c)-f(a)=f"(ξ?)(c-a)，(a＜ξ?＜c).
f(b)-f(c)=f"(ξ?)(b-c)，(c＜ξ?＜b).
2o，
∵f(a)=0，f(b)=0.
∴f(c)=f"(ξ?)(c-a)，-f(c)=f"(ξ?)(b-c)
∴
|f(c)|=|f"(ξ?)|(c-a)≤M(c-a)，
|f(c)|=|f"(ξ?)|(b-c)≤M(b-c)，
推出
2|f(c)|≤M(b-a)
推出
|f(c)|≤M(b-a)/2.
【漂亮】
……
学习的课间休息时间我会喝口水上个厕所听听歌。一般放的歌就是《sold out》。稍有激励感。
……
【方法】【对于有三个点的证明，可以用两次拉格朗日】
【例2】a＜b，证arctanb-arctana≤b-a.
【方法】【对于形式是f(b)-f(a)，也可以用拉格朗日】
证明：令f(x)=arctanx. f"(x)=1/(1+x2)
arctanb-arctana
=f(b)-f(a)
=f"(ξ)(b-a)，（a＜ξ＜b）
=[1/(1+ξ2)](b-a)
∵1/(1+ξ2)≤1
∴arctanb-arctana=[1/(1+ξ2)](b-a)≤b-a
【推论】若f(x)∈C[a，b]，f(x)在(a，b)内可导，且f"(x)≡0，
则f(x)≡C?.
【证明】略，懒得写。
三、柯西中值定理【Cauchy】
Th3.若①f(x)、g(x)∈C[a，b]，
②f(x)、g(x)在(a，b)内可导，
③g"(x)≠0，(a＜x＜b).
则?ξ∈(a，b)，
使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(ξ)/g"(ξ).
【注解】
①g"(x)≠0，(a＜x＜b)推出g"(ξ)≠0，[g(b)-g(a)]≠0.【用罗尔定理反证】
②若g(x)=x，则Cauchy→Lagrange
③L拉格朗日辅助函数：φ(x)=曲-直=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
C柯西辅助函数：φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
【证明】
令φ(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).
φ(x)∈C[a，b]，φ(x)在(a，b)内可导，
φ(a)=0，φ(b)=0，
∵φ(a)=φ(b)=0，
∴根据罗尔定理
?ξ∈(a，b)，使φ"(ξ)=0.
而φ(x)=f"(x)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}g"(x)
f"(ξ)-{[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)}g"(ξ)=0
∵g"(ξ)≠0，
∴[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(ξ)/g"(ξ).
【例1】f(x)∈C[a，b]，(a，b)内可导，（a＞0），证：?ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=ξf"(ξ)·ln(b/a).
【分析】要证f(b)-f(a)=ξf"(ξ)·ln(b/a)，
即证[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=ξf"(ξ).
【lnab=lna+lnb，lna/b=lna-lnb】
证明：令g(x)=lnx，g"(x)=1/x≠0，(a＜x＜b)，
由Cauchy，?ξ∈(a，b)，使
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(ξ)/g"(ξ)
推出
[f(b)-f(a)]/[lnb-lna]=f"(ξ)/(1/ξ)=ξf"(ξ)
即f(b)-f(a)=ξf"(ξ)·ln(b/a).
好的休息一下，一会儿再来看看三个中值定理学完了之后的例题。